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* バネで固定された粒子のシミュレーション [#aad7ba66]
確率過程のシミュレーションを考える前に，今回はひとまず通常の確率的ではない（＝決定論的）運動のシミュレーションを扱う．例題として原点にバネで固定された粒子のシミュレーションをオイラー法を用いて行う．粒子はバネから受ける力の他に，速度に比例した抵抗力を受けるものとする．
** 運動方程式 [#b9dbdd58]
dR(t)/dt = V(t)
(1) dR(t)/dt = V(t)
(2) m(dV(t)/dt) = - zV(t) - kR(t)
m(dV(t)/dt) = - zV(t) - kR(t)
- R(t): 粒子の位置座標
- V(t): 粒子の速度
- t: 時間
- m: 粒子の質量
- k: バネ定数
- z: 粒子の摩擦係数
** オイラー法 [#cb247f53]
時刻tを小さな間隔Dtで区切り，t=Dt*i (i=0,1,2,...)と離散化して考え，R(t=Dt*i)をR_iと表示する．
時刻tを小さな間隔Dtで区切り，t=t_i=Dt*i (i=0,1,2,...)と離散化して考え，R(t_i)をR_iと表示する．
オイラー法では，以下の様に微分を前進差分で置き換える．
dR(t)/dt = (R_i+1 - R_i)/Dt
dV(t)/dt = (V_i+1 - V_i)/Dt
よって，運動方程式は以下の様に差分形式に変換できる（差分形式はコンピュータが得意な形）
R_i+1 = R_i + V_i * Dt
V_i+1 = V_i * (1 - z/m * Dt) - k/m * Dt * R_i
** 使用するライブラリのインポート [#h323a272]
% matplotlib nbagg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
** 変数の設定 [#ff676eee]
dim = 2 # 系の次元
nums = 1000 # シミュレーションのステップ数
R = np.zeros(dim) # 粒子の位置座標（瞬間値）
V = np.zeros(dim) # 粒子の速度（瞬間値）
Rs = np.zeros([dim,nums]) # 粒子の位置座標（各ステップの値）
Vs = np.zeros([dim,nums]) # 粒子の速度（各ステップの値）
Et = np.zeros(nums) # 系の全エネルギー（各ステップの値）
time = np.zeros(nums) # 時刻（各ステップの値）
** オイラー法でシミュレーション＆動画表示 [#bbf9e8ab]
# System parameters
m = 1.0 # 粒子の質量
k = 1.0 # バネ定数
zeta = 0.0 # 粒子の摩擦係数
# Initial condition
R[0] = 1. # 粒子位置の初期値(x座標)
R[1] = 0. # 粒子位置の初期値(y座標)
V[0] = 0. # 粒子速度の初期値(x座標)
V[1] = 0. # 粒子速度の初期値(y座標)
# set dt
dt = 0.05*np.sqrt(k/m) # dtの設定（バネの振動数の定数倍とする）
# set box size
box = 5 # 動画作成領域のサイズ
# First set up the figure, the axis, and the plot element we want to animate
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.5,7.5))
ax = plt.axes(xlim=(-box/2,box/2),ylim=(-box/2,box/2))
particles, = ax.plot([], [], 'ro', ms=10)
line, = ax.plot([], [], lw=1)
title = ax.text(0.5, 1.05, '', transform = ax.transAxes, va='center')
xdata, ydata = [], []
def init():
particles.set_data([], [])
line.set_data([], [])
title.set_text('')
return particles,line,title
def animate(i):
global R,V,F,Rs,Vs,time,Et
V = V*(1-zeta/m*dt)-k/m*dt*R # オイラー法で粒子速度の積分
# V = V*(1-zeta/m*dt)-k/m*dt*np.linalg.norm(R)**2*R # オイラー法で粒子速度の積分
R = R + V*dt # オイラー法で粒子位置の積分
xdata.append(R[0])
ydata.append(R[1])
particles.set_data(R[0], R[1])
line.set_data(xdata, ydata)
title.set_text("t = "+str(i*dt)+" Et = "+str(Et[i]))
Rs[0:dim,i]=R # 粒子位置の瞬間値を保存
Vs[0:dim,i]=V # 粒子速度の瞬間値を保存
time[i]=i*dt # 時刻の瞬間値を保存
Et[i]=0.5*m*np.linalg.norm(V)**2+0.5*k*np.linalg.norm(R)**2 # 系の全エネルギーの瞬間値を保存
# Et[i]=0.5*m*np.linalg.norm(V)**2+0.25*k*np.linalg.norm(R)**4 # 系の全エネルギーの瞬間値を保存
return particles,line,title
anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, init_func=init,
frames=nums, interval=5, blit=True, repeat=False)
** 保存された種々のデータ(A(t), B(t), ...)を時刻(t)の関数としてプロット [#m05bdb79]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.5,7.5))
ax.set_xlabel("$t$", fontsize=20)
ax.plot(time,Et) # 各時刻の系の全エネルギーをプロット(摩擦がなければ一定，あれば減少するはず)
ax.plot(time,Rs[0]) # 各時刻の粒子位置(x座標)をプロット（動画で見たとおりに振動するはず）
ax.plot(time,Rs[1]) # 各時刻の粒子位置(y座標)をプロット（動画で見たとおりに振動するはず）
ax.legend(['$E_t(t)$','$R_x(t)$','$R_y(t)$'], fontsize=14)
plt.show()
** A(t) vs B(t) のようなパラメトリックプロットも可能 [#bbdd050c]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.5,7.5))
ax.plot(Rs[0,0:nums],Rs[1,0:nums]) # これで粒子の軌跡が平面上にパラメトリックプロットされるはず
plt.show()
** 宿題 [#ief83070]
- シミュレーションの設定（粒子の初期条件，バネ定数，粒子質量，摩擦係数，バネの線形/非線形などなど）を変更して何度か実行し，目的のシミュレーションが実行できていることを確認する．その１つについて系の全エネルギーを時刻の関数としてプロットしたグラフをメールで提出すること．シミュレーションの設定条件もメールに明記すること．
